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未读粒子群算法 粒子群算法是一种启发式算法，它的核心是思想是利用群体中的个体对信息的共享使整个群体的运动在问题求解空间中产生从无序到有序的演化过程，从而获得问题的可行解。 粒子群算法属于进化算法的一种，和模拟退火算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，它也是通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的“交叉”和“变异”操作。 粒子群算法包括以下几个步骤： 预设参数，包括粒子个数、维度、迭代次数、惯性权重、学习因子等。 变量初始化，包括粒子的位置、速度、个体最优解、全局最优解等。 适应度计算，根据目标函数计算每个粒子的适应度值，并更新个体最优解和全局最优解。 速度和位置更新，根据粒子群算法的公式更新每个粒子的速度和位置，使其向最优解靠近。 自适应调整参数，根据迭代过程中的情况调整惯性权重等参数，使其能够平衡全局搜索和局部搜索的能力。 自动退出迭代，根据预设的终止条件判断是否退出迭代，如达到最大迭代次数、最优解变化小于阈值等。 MATLAB 实现粒子群算法 MATLAB 中的粒子群算法函数为 particleswarm，其基本语法为： 1[x,fval ...
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未读马尔可夫链 马尔可夫链是一种随机过程，它的状态转移是由当前状态决定的，与过去的状态无关。马尔可夫链的状态转移矩阵是一个方阵，它的每一行元素之和为1，这样的矩阵称为概率转移矩阵。马尔可夫链的状态转移矩阵可以用来表示状态转移的概率。 MATLAB 马尔可夫链预测模型 例1 有一个时齐的马尔可夫链，其状态转移矩阵为： [0.50.30.20.20.60.20.40.20.4]\begin{bmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2\\ 0.2 & 0.6 & 0.2\\ 0.4 & 0.2 & 0.4 \end{bmatrix} 0.50.20.40.30.60.20.20.20.4 当前状态为第二个状态，求经过5步后的状态概率分布。 解 123456% 状态转移矩阵P = [0.5 0.3 0.2; 0.2 0.6 0.2; 0.4 0.2 0.4];% 初始状态x0 = [0 1 0];% 经过15步后的状态概率分布x5 = x0 * P^5 输出结果为： 12x5 = 0.3552 0.3949 0.2 ...
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未读一元线性回归与多项式回归 MATLAB 提供了 polyfit 函数来进行一元回归，包括线性回归和多项式回归。 polyfit 函数的语法为： 1p = polyfit(x,y,n) 其中，x 和 y 分别为自变量和因变量，n 为多项式的阶数，p 为拟合多项式的系数。当 n 为 1 时，为线性回归。 使用 polyval 函数可以计算拟合多项式的值： 1y = polyval(p,x) 其中，p 为拟合多项式的系数，x 为自变量，y 为因变量。 例 使用线性回归拟合美国人口数据： 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口/百万 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口/百万 76.2 92.2 106.5 123.2 132.2 151.3 179.3 203.2 226.5 249.6 281 ...
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未读人口增长模型 Malthus模型（指数模型） 最早的人口增长模型是 Malthus 于 1798 年提出的指数模型，基本假设是人口增长率 r 是常数。 N(t)=N0ertN(t)=N_0e^{rt} N(t)=N0ert 这个模型的问题在于，它没有考虑到人口增长的阻滞因素，即人口增长的上限。因此，当预测时间 t 较短时，模型的预测结果是合理的，但是当预测时间 t 较长时，模型的预测结果就会出现较大的误差。 Logistic模型（阻滞增长模型） 由于人口不可能无限制的增长，当人口达到一定数量后，那么增长率就会下降。因此， Verhulst 于 1838 年提出了阻滞增长模型，基本假设是人口增长率 r 随着人口数量 N 的增加而减小。 人口增长率 r 是一个关于人口数量 N 的线性函数： dNdt=r(N)N\frac{dN}{dt}=r(N)N dtdN=r(N)N 人口增长率 r 的函数形式为： r(N)=r−sN,(r,s>0)r(N)=r-sN,(r,s>0) r(N)=r−sN,(r,s>0) 其中， r 是人口增长率的最大值， s 是人口增长率的下降速率 ...
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未读种群竞争模型 当两个种群为争夺同一食物来源和生活空间相互竞争时，常见的结局是一方被淘汰，另一方获得优势。这种现象在生物学中被称为“竞争”。在数学建模中，我们可以通过种群竞争模型来模拟这种现象。 数学模型 有甲乙两个种群，它们独自生存时的数量变化均服从 Logistic 规律： dN1dt=r1N1(1−N1K1)dN2dt=r2N2(1−N2K2)\begin{aligned} \frac{dN_1}{dt} &= r_1 N_1 \left(1-\frac{N_1}{K_1}\right) \\ \frac{dN_2}{dt} &= r_2 N_2 \left(1-\frac{N_2}{K_2}\right) \end{aligned} dtdN1dtdN2=r1N1(1−K1N1)=r2N2(1−K2N2) 其中 N1N_1N1 为甲种群数量，N2N_2N2 为乙种群数量，r1r_1r1 为甲种群的增长率，r2r_2r2 为乙种群的增长率，K1K_1K1 为甲种群的容量，K2K_2K2 为乙种群的容量。 两种群在一起生存 ...
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未读背包问题 背包问题是数学建模中的一个经典问题，其目的是在给定的背包容量下，选择一组物品，使得物品的价值最大化。在实际生活中，背包问题可以用于物流运输、物资调度等领域。 常见的背包问题有 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。 0-1 背包问题 0-1 背包问题是最基本的背包问题，即每个物品只能选择 0 个或 1 个。 通常使用动态规划的方法求解 0-1 背包问题。 例 有 4 件物品，重量分别为 2、2、6、5，价值分别为 6、3、5、4，背包容量为 10，求背包中物品的最大价值。 解 将原问题分解为子问题：将问题分解为前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。 确定状态：i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。 确定一些初始状态（边界状态）的值：当 i = 0 时，j 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值为 0；当 j = 0 时，i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值为 0。 确定状态转移方程：当 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值为 max{f(i-1,j),f(i-1,j-w(i) ...
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未读最小生成树 最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST) 是一种用于寻找连通图中的最小权重生成树的算法。最小生成树的应用非常广泛，例如在网络规划中，我们需要在一定的成本下，使得网络中的所有节点都能够相互连接，这时候就可以使用最小生成树来解决这个问题。 常用的最小生成树算法有 Prim 算法和 Kruskal 算法，这两种算法都是贪心算法，都是通过不断地选择权重最小的边来构建最小生成树。 如何使用 MATLAB 求解最小生成树 MATLAB 中提供了 minspantree 函数来求解最小生成树。 minspantree 函数的语法如下： 1T = minspantree(G) 其中，G 是一个图，T 是最小生成树。 例 使用加权边创建并绘制一个立方体图。 12345s = [1 1 1 2 5 3 6 4 7 8 8 8];t = [2 3 4 5 3 6 4 7 2 6 7 5];weights = [100 10 10 10 10 20 10 30 50 10 70 10];G = graph(s,t,weights);p = plot(G,'Ed ...
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未读最短路 最短路是指在一个有向图中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径。在数学建模中，最短路问题可以用来表示物流运输问题，例如：从一个城市到另一个城市的最短路程，从一个城市到另一个城市的最短时间，从一个城市到另一个城市的最少运输成本等等。 如何使用 MATLAB 解决最短路问题 MATLAB 中的最短路问题可以使用 shortestpath 函数来解决。 shortestpath 函数的语法如下： 1[P,d] = shortestpath(G,s,t) 其中，G 是一个图，s 是起点，t 是终点，P 是从起点到终点的最短路径，d 是从起点到终点的最短路径的长度。 例1 创建并绘制一个有向图。 1234s = [1 1 2 3 3 4 4 6 6 7 8 7 5];t = [2 3 4 4 5 5 6 1 8 1 3 2 8];G = digraph(s,t);plot(G) 计算节点 7 和 8 之间的最短路径。 1[P,d] = shortestpath(G,7,8) 结果： 12345P = 7 1 3 5 8d = 4 例2 创建并 ...
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未读网络流 网络流是一种数学模型，用于描述在网络中流动的物质或信息。网络流模型可以用于描述物流、交通、通信、生物学等领域的问题。 最大流问题 最大流问题是网络流模型中的一个重要问题，它的目标求出网络中一点到另一点的最大流量。 如何使用 MATLAB 解决最大流问题 MATLAB 中的 maxflow 函数可以用于求解最大流问题。 maxflow 函数的语法格式如下： 1[mf,GF] = maxflow(G,s,t) 其中，G 为网络图，s 为源点，t 为汇点，mf 为最大流量，GF 为最大流量对应的网络图。 例1 创建并绘制一个加权图。加权边表示流量。 12345s = [1 1 2 2 3 4 4 4 5 5];t = [2 3 3 4 5 3 5 6 4 6];weights = [0.77 0.44 0.67 0.75 0.89 0.90 2 0.76 1 1];G = digraph(s,t,weights);plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,'Layout','layered'); ...
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未读多目标规划 多目标规划是指在一定的约束条件下，求解多个目标函数的最优解。 数学模型 正负偏差变量 设 d 为决策变量的函数，d0 为目标值。 正负偏差变量 d+ = max{0, d - d0} 表示决策值超过目标值的部分；d- = max{0, d0 - d} 表示决策值低于目标值的部分。 因为决策值不可能既高于目标值，又低于目标值，所以恒有 d+ × d- = 0。 绝对约束和目标约束 绝对约束：线性规划直接给出的约束条件，一定要满足的约束 目标约束：由决策目标得出的约束条件，尽量满足的约束，允许存在一定的正负偏差 优先因子 为各个目标主观设定一个因子，表示各个目标的重要程度。优先因子越高的目标拥有越高的权重，将会被优先考虑。 多目标规划的目标函数 对于每个目标，有以下三种情况： 恰好达到：正负偏差都尽可能小，minz=f(d++d−)min \quad z=f(d^+ + d^-)minz=f(d++d−) 不超过：正偏差尽可能小，minz=f(d+)min \quad z=f(d^+)minz=f(d+) 不少于：负偏差尽可能小，minz=f(d−)min \quad ...
