多目标规划

多目标规划是指在一定的约束条件下，求解多个目标函数的最优解。

数学模型

正负偏差变量

设 d 为决策变量的函数，d₀ 为目标值。

正负偏差变量 d⁺ = max{0, d - d₀} 表示决策值超过目标值的部分；d^- = max{0, d₀ - d} 表示决策值低于目标值的部分。

因为决策值不可能既高于目标值，又低于目标值，所以恒有 d⁺ × d^- = 0。

绝对约束和目标约束

• 绝对约束：线性规划直接给出的约束条件，一定要满足的约束
• 目标约束：由决策目标得出的约束条件，尽量满足的约束，允许存在一定的正负偏差

优先因子

为各个目标主观设定一个因子，表示各个目标的重要程度。优先因子越高的目标拥有越高的权重，将会被优先考虑。

多目标规划的目标函数

对于每个目标，有以下三种情况：

• 恰好达到：正负偏差都尽可能小，$min \quad z=f(d^+ + d^-)$
• 不超过：正偏差尽可能小，$min \quad z=f(d^+)$
• 不少于：负偏差尽可能小，$min \quad z=f(d^-)$

最后将各个目标的目标函数根据优先因子进行加权求和，得到最终的目标函数。

如何使用 MATLAB 解决多目标规划问题

MATLAB 为我们提供了 fgoalattain 函数，可以直接求解多目标规划问题。

fgoalattain 函数的语法为：

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[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 

其中，fun 为目标函数，x0 为初始值，goal 为目标值，weight 为优先因子，A 为线性不等式约束系数，b 为线性不等式约束的右端项，Aeq 为线性等式约束系数，beq 为线性等式约束的右端项，lb 为变量的下界，ub 为变量的上界，nonlcon 为非线性约束。

输入的标准形式为：

$$\min _{x,\gamma} \gamma \text { such that } \begin{cases} & F(x) - weight \cdot \gamma \leq goal \\ & c(x) \leq 0 \\ & ceq(x)=0 \\ & A \cdot x \leq b \\ & { Aeq } \cdot x={ beq } \\ & l b \leq x \leq u b. \end{cases}$$

例1

假设有以下双目标函数：

$$\begin{aligned} F(x) = \begin{bmatrix} 2 + (x-3)^2 \\ 5 + x^2/4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

设置目标 [3,6] 和权重 [1,1]，并从 x0 = 1 开始求解目标达到问题。

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fun = @(x)[2+(x-3)^2;5+x^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];
x0 = 1;
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)

结果为：

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x =
    2.0000


fval =
    3.0000
    6.0000

可以看到，目标函数达到了目标值。

例2

目标函数为：

$$\begin{aligned} F(x) = \begin{bmatrix} 2 + ||x-p_1||^2 \\ 5 + ||x-p_2||^2/4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

此处，$p_1 = [2,3]$ 且$p_2 = [4,1]$。目标是 [3,6]，权重是 [1,1]，线性约束是$x_1+x_2 \leq 4$ 。

从 x0 = [1,1] 开始求解目标达到问题。

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p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

A = [1,1];
b = 4;

x0 = [1,1];
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

结果为：

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6

x =
    2.0694    1.9306

fval =
    3.1484
    6.1484