投资问题

设有一笔资金 10 万，未来 5 年内可以投资 4 个项目：

• 项目 1：每年初投资，次年年末回收本利 115%；
• 项目 2：第 3 年初投资，第 5 年末回收本利 125%，投资额不能超过 3 万；
• 项目 3：第 2 年初投资，第 5 年末回收本利 140%，投资额不能超过 4 万；
• 项目 4：每年初投资，当年年末回收本利 106%。

要使 5 年后收益最大化，请问 5 年内应如何投资？

模型建立

考虑每个项目的可投资时段，可得到下表：

表中的对号$\checkmark$ 表示该项目在该年初可以投资，空白表示该项目在该年初不可以投资。

设$x_{ij}$ 表示项目$i$ 在第$j$ 年初投资的金额，$i=1,2,3,4$，$j=1,2,3,4,5$。
可得出以下优化模型：

$$\begin{align*} \begin{align*} \max f(x)=1.15x_{14}+1.25x_{23}+1.4x_{32}+1.06x_{45} \end{align*} \\ \begin{align*} \text { s.t. } \begin{cases} & x_{11} + x_{41} = 10 \\ & x_{12} + x_{32} + x_{42} = 1.06x_{41} \\ & x_{13} + x_{23} + x_{43} = 1.15x_{11} + 1.06x_{42} \\ & x_{14} + x_{44} = 1.15x_{12} + 1.06x_{43} \\ & x_{45} = 1.15x_{13} + 1.06x_{44} \\ & x_{23} \leq 3 \\ & x_{32} \leq 4 \\ & x_{ij} \geq 0 \end{cases} \end{align*} \end{align*}$$

MATLAB 求解

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% 创建优化问题
prob = optimproblem('ObjectiveSense','max');

% 创建优化变量
x = optimvar('x',4,5,'LowerBound',0);

% 设置优化目标
prob.Objective = 1.15*x(1,4)+1.25*x(2,3)+1.4*x(3,2)+1.06*x(4,5);

% 添加约束
prob.Constraints.cons1 = x(1,1)+x(4,1)==10;
prob.Constraints.cons2 = x(1,2)+x(3,2)+x(4,2)==1.06*x(4,1);
prob.Constraints.cons3 = x(1,3)+x(2,3)+x(4,3)==1.15*x(1,1)+1.06*x(4,2);
prob.Constraints.cons4 = x(1,4)+x(4,4)==1.15*x(1,2)+1.06*x(4,3);
prob.Constraints.cons5 = x(4,5)==1.15*x(1,3)+1.06*x(4,4);
prob.Constraints.cons6 = x(2,3)<=3;
prob.Constraints.cons7 = x(3,2)<=4;

% 检查优化问题
show(prob)

% 求解优化问题
[sol,fval] = solve(prob);

fval
sol.x

结果：

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fval =
   14.4215

ans =
    2.6087    3.8348         0    4.4100         0
         0         0    3.0000         0         0
         0    4.0000         0         0         0
    7.3913         0         0         0         0

即 5 年内应按下表进行投资：

最终收益为$14.4215 - 10 = 4.4215(\text{万元})$。