遗传算法

遗传算法是一种模拟自然界生物进化机制的优化算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来寻找问题的最优解。

遗传算法通常包括以下步骤：

1. 定义问题的目标函数和约束条件，以及变量的编码方式。
2. 生成初始种群，即一组随机的可行解。
3. 计算每个个体的适应度值，即目标函数的值。
4. 选择操作，根据适应度值选择一部分个体进入下一代。
5. 交叉操作，对选中的个体进行染色体的交换，产生新的个体。
6. 变异操作，对某些个体的某些基因进行随机改变，增加种群的多样性。
7. 重复3-6步，直到满足终止条件，如达到最大迭代次数或适应度值达到预设阈值。
8. 输出最优解或最优解集。

MATLAB 实现遗传算法

MATLAB 中的遗传算法函数为 ga，其基本语法为：

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[x,fval] = ga(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,intcon)

其中，fun 为目标函数，nvars 为变量个数，A 为不等式约束系数矩阵，b 为不等式约束右端项，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端项，lb 为变量下界，ub 为变量上界，nonlcon 为非线性约束函数，intcon 为整数变量的下标。

该函数可以求解线性规划、整数规划、非线性规划、混合整数规划等各种优化问题。

例1

求解以下非线性规划问题：

$$\begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & x_{1}^2-x_{2}+x_{3}^2 \geq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3 \leq 20 \\ & -x_{1}-x_{2}^2+2 = 0 \\ & x_{2}+2x_{3}^2 = 3 \\ & x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{cases} \end{equation}$$

解

转换为标准形式：

$$\begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & -x_{1}^2+x_{2}-x_{3}^2 \leq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3-20 \leq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2-2 = 0 \\ & x_{2}+2x_{3}^2-3 = 0 \\ & x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{cases} \end{equation}$$

定义目标函数：

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function f = objfun(x)
    f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end

定义非线性约束函数：

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function [c,ceq] = nonlcon(x)
    c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
    ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end

代码求解：

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[x,fval] = ga(@objfun,3,[],[],[],[],[0,0,0],[],@nonlcon)

输出结果：

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x =
    0.5516    1.2035    0.9477

fval =
   10.6508

例2

求解以下整数规划问题：

$$\begin{equation} \max \quad Z=4x_{1}+3y_{1}+5y_{2} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ & 2x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ & x_{1}+y_{1} \geq 8 \\ & x_{1}+y_{2} \geq 10 \\ & x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ & x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{cases} \end{equation}$$

解

转换为标准形式：

$$\begin{equation} \min \quad -Z=-4x_{1}-3y_{1}-5y_{2} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ & 2x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ & -x_{1}-y_{1} \leq -8 \\ & -x_{1}-y_{2} \leq -10 \\ & x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ & x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{cases} \end{equation}$$

代码求解：

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fun = @(x) -4*x(1) - 3*x(2) - 5*x(3);
A = [2, 1, 3; -1, -1, 0; -1, 0, -1];
b = [36; -8; -10];
Aeq = [1, 1, -1];
beq = 4;
lb = [0, 0, 0];
ub = [];
intcon = [2, 3];
[x,fval] = ga(fun,3,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],intcon);
fval = -fval;

输出结果：

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x =
    4.0000    7.0000    7.0000

fval =
   72.0000