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MATLAB 种群竞争模型

种群竞争模型

当两个种群为争夺同一食物来源和生活空间相互竞争时，常见的结局是一方被淘汰，另一方获得优势。这种现象在生物学中被称为“竞争”。在数学建模中，我们可以通过种群竞争模型来模拟这种现象。

数学模型

有甲乙两个种群，它们独自生存时的数量变化均服从 Logistic 规律：

dN1dt=r1N1(1−N1K1)dN2dt=r2N2(1−N2K2)\begin{aligned} \frac{dN_1}{dt} &= r_1 N_1 \left(1-\frac{N_1}{K_1}\right) \\ \frac{dN_2}{dt} &= r_2 N_2 \left(1-\frac{N_2}{K_2}\right) \end{aligned}

其中N1N_1 为甲种群数量，N2N_2 为乙种群数量，r1r_1 为甲种群的增长率，r2r_2 为乙种群的增长率，K1K_1 为甲种群的容量，K2K_2 为乙种群的容量。

两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比；甲对乙有同样的作用：

dN1dt=r1N1(1−N1K1−s1N2K2)dN2dt=r2N2(1−N2K2−s2N1K1)\begin{aligned} \frac{dN_1}{dt} &= r_1 N_1 \left(1-\frac{N_1}{K_1}-s_1\frac{N_2}{K_2}\right) \\ \frac{dN_2}{dt} &= r_2 N_2 \left(1-\frac{N_2}{K_2}-s_2\frac{N_1}{K_1}\right) \end{aligned}

其中s1s_1 甲种群个体的生存能力，值越小生存能力越强；s2s_2 同理。

MATLAB 代码

matlab
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function [t, N1, N2] = population_competition(r1, r2, K1, K2, s1, s2, N10, N20, t0, tf, dt)
    % population_competition: 种群竞争模型
    %   [t, N1, N2] = population_competition(r1, r2, K1, K2, s1, s2, N10, N20, t0, tf, dt)
    %   r1: 甲种群的增长率
    %   r2: 乙种群的增长率
    %   K1: 甲种群的容量
    %   K2: 乙种群的容量
    %   s1: 甲种群个体的生存能力
    %   s2: 乙种群个体的生存能力
    %   N10: 甲种群初始数量
    %   N20: 乙种群初始数量
    %   t0: 初始时间
    %   tf: 终止时间
    %   dt: 时间步长
    %   t: 时间
    %   N1: 甲种群数量
    %   N2: 乙种群数量

    % 初始化
    t = t0:dt:tf;
    N1 = zeros(1, length(t));
    N2 = zeros(1, length(t));
    N1(1) = N10;
    N2(1) = N20;

    % 迭代
    for i = 1:length(t)-1
        N1(i+1) = N1(i) + dt * r1 * N1(i) * (1 - N1(i)/K1 - s1 * N2(i)/K2);
        N2(i+1) = N2(i) + dt * r2 * N2(i) * (1 - N2(i)/K2 - s2 * N1(i)/K1);
    end
end

例1

甲乙种群个体生存能力相差较大，其他条件相同：

matlab
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[t, N1, N2] = population_competition(0.5, 0.5, 100, 100, 0.5, 2, 10, 10, 0, 20, 0.01);
plot(t, N1, t, N2, 'LineWidth', 2), grid on, xlabel('t'), ylabel('N'), legend('N1', 'N2');

最终甲种群达到了环境容量，乙种群灭绝：

图1

例2

甲乙种群生存能力相差较小，其他条件相同：

matlab
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2
[t, N1, N2] = population_competition(0.5, 0.5, 100, 100, 0.7, 0.6, 10, 10, 0, 50, 0.01);
plot(t, N1, t, N2, 'LineWidth', 2), grid on, xlabel('t'), ylabel('N'), legend('N1', 'N2');

甲乙种群共存，生存能力较强的乙种群数量收敛在高位：

图2